เฮ้ ในฐานะซัพพลายเออร์ผสมผสานฉันมีความสุขมากที่จะแบ่งปันวิธีการใช้เครื่องแก้ปัญหาการผสมสำหรับ PDEs (สมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน) PDEs อยู่ทั่วทุกสถานที่ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมตั้งแต่การสร้างแบบจำลองการถ่ายเทความร้อนไปจนถึงการจำลองการไหลของของไหล และวิธีการผสมผสานอาจเป็นเกมจริง - ตัวเปลี่ยนเมื่อพูดถึงการแก้สมการเหล่านี้อย่างมีประสิทธิภาพ
ผสมคืออะไร?
ก่อนอื่นเรามาดูว่าผสมอะไรบ้าง Combigrid เป็นเทคนิคที่รวมข้อดีของกริดเบาบางและกริดเต็ม กริดกระจัดกระจายนั้นยอดเยี่ยมเพราะสามารถลดค่าใช้จ่ายในการคำนวณในปัญหามิติที่สูง แต่พวกเขามีข้อ จำกัด บางอย่าง ในทางกลับกันกริดเต็มมีความแม่นยำ แต่อาจมีราคาแพงมากโดยเฉพาะในขนาดที่สูง ผสมผสานความพยายามที่จะค้นหาจุดหวานระหว่างทั้งสอง
ขั้นตอนที่ 1: คำจำกัดความปัญหา
สิ่งแรกที่คุณต้องทำคือกำหนดปัญหา PDE ของคุณอย่างชัดเจน คุณจำเป็นต้องรู้ประเภทของ PDE (เช่นรูปไข่, พาราโบลา, ไฮเปอร์โบลิก), โดเมนที่กำหนด PDE และเงื่อนไขขอบเขต ตัวอย่างเช่นหากคุณกำลังจัดการกับปัญหาการนำความร้อนคุณจะมี PDE พาราโบลา โดเมนอาจเป็นแผ่นสี่เหลี่ยมและเงื่อนไขขอบเขตอาจระบุอุณหภูมิที่ขอบของแผ่น
สมมติว่าเรามีรูปแบบรูปแบบ 2D แบบง่าย ๆ :
[-\ delta u (x, y) = f (x, y) \ quad \ text {in} \ quad \ omega = (0,1) \ times (0,1)]]
ด้วยเงื่อนไขขอบเขต dirichlet (u (x, y) = g (x, y)) บน (\ partial \ omega) ที่นี่ (\ delta) เป็นผู้ดำเนินการ Laplacian, (f (x, y)) เป็นฟังก์ชันแหล่งที่มาและ (g (x, y)) เป็นฟังก์ชันค่าขอบเขต
ขั้นตอนที่ 2: discretization
เมื่อคุณกำหนดปัญหาขั้นตอนต่อไปคือการแยก PDE นี่หมายถึงการเปลี่ยน PDE อย่างต่อเนื่องให้เป็นระบบของสมการพีชคณิตที่สามารถแก้ไขตัวเลขได้ มีหลายวิธีในการทำเช่นนี้เช่นวิธีความแตกต่างที่ จำกัด วิธีการ จำกัด องค์ประกอบหรือวิธีสเปกตรัม
สำหรับวิธีการผสมของเราเราจะใช้วิธีการเหล่านี้ในกริดกระจัดกระจาย แนวคิดพื้นฐานคือการสร้างชุดของฟังก์ชันพื้นฐานลำดับชั้นบนจุดกริด ฟังก์ชั่นพื้นฐานเหล่านี้ช่วยให้เราสามารถประมาณวิธีการแก้ปัญหาของ PDE เป็นการรวมกันเชิงเส้นของฟังก์ชั่นเหล่านี้
ลองมาดูกันว่าเราจะสร้างคอมมิวนิสต์สำหรับปัญหา 2D ได้อย่างไร เราเริ่มต้นด้วยการกำหนดชุดของกริด 1D ในแต่ละทิศทาง ตัวอย่างเช่นใน (x) - ทิศทางเราสามารถมีชุดของกริด (g_ {x}^l) ที่มีระดับที่แตกต่างกัน (l) เช่นเดียวกันสำหรับ (y) - ทิศทาง จากนั้นเรารวมกริด 1D เหล่านี้เข้ากับการผสม 2D
จำนวนจุดกริดในการผสมผสานนั้นเล็กกว่าในกริดเต็มมากซึ่งช่วยประหยัดทรัพยากรการคำนวณจำนวนมาก แต่เรายังต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าการประมาณนั้นแม่นยำพอ
ขั้นตอนที่ 3: การก่อสร้างผสมผสาน
การสร้างชุดค่าผสมเป็นขั้นตอนสำคัญ เราเริ่มต้นด้วยการกำหนดระดับของกริด 1D ในแต่ละมิติ ระดับ (l) ของกริด 1D กำหนดจำนวนจุดกริด ระดับที่สูงขึ้นหมายถึงจุดกริดที่มากขึ้นและความแม่นยำที่สูงขึ้น
จากนั้นเราใช้เทคนิคการรวมกันเพื่อรวมกริด 1D ในมิติที่แตกต่างกัน มีรูปแบบการรวมกันที่แตกต่างกันเช่นเทคนิคการผสมผสานแบบดั้งเดิมหรือเทคนิคการผสมผสานแบบปรับตัว เทคนิคการผสมผสานแบบคลาสสิกเพียงแค่สรุปโซลูชันที่ได้จากกริดย่อยที่แตกต่างกันด้วยน้ำหนักที่เหมาะสม
ใน Python เราสามารถใช้ไลบรารีเช่น PYCCF (Python Combigrid Framework) เพื่อสร้างและทำงานร่วมกับผสม นี่คือตัวอย่างง่ายๆของวิธีการสร้างคอมมิวนิสต์ 2D:
นำเข้า PYCCF # กำหนดจำนวนมิติ DIM = 2 # กำหนดระดับในแต่ละระดับมิติ = [3, 3] # สร้างการผสมผสาน Combigrid = PYCCF.comBigrid (DIM, ระดับ)ขั้นตอนที่ 4: การแก้ปัญหาระบบ discretized
หลังจากสร้างคอมมิวนิสต์เราจำเป็นต้องแก้ปัญหาระบบการแยกส่วนของสมการพีชคณิต สิ่งนี้สามารถทำได้โดยใช้วิธีการวนซ้ำเช่นวิธีการไล่ระดับสีคอนจูเกตหรือวิธีการโดยตรงเช่นการกำจัดแบบเกาส์เซียน
ทางเลือกของตัวแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับขนาดและคุณสมบัติของระบบ วิธีการวนซ้ำมักจะมีประสิทธิภาพมากขึ้นสำหรับปัญหาขนาดใหญ่ในขณะที่วิธีการโดยตรงอาจเร็วขึ้นสำหรับปัญหาขนาดเล็กถึง - ขนาดกลาง
สมมติว่าเรามีระบบสมการ (AX = B) โดยที่ (a) คือเมทริกซ์ความแข็งที่ได้จาก discretization (x) คือเวกเตอร์ของ unknowns (วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณบนจุดกริด) และ (b) เป็นเวกเตอร์ด้านขวามือ
นำเข้า numpy เป็น np จาก scipy.sparse.linalg นำเข้า CG # สมมติว่าเป็นเมทริกซ์ความแข็งและ B คือเวกเตอร์ด้านขวา - ด้านข้าง # A เป็นเมทริกซ์เบาบางและ B เป็นอาร์เรย์ numpy x, info = cg (a, b)ขั้นตอนที่ 5: โพสต์ - การประมวลผล
เมื่อเราแก้ไขระบบแล้วเราต้องโพสต์ - ประมวลผลโซลูชัน ซึ่งรวมถึงการแสดงภาพการแก้ปัญหาการคำนวณปริมาณความสนใจทางกายภาพบางอย่างและตรวจสอบความแม่นยำของการแก้ปัญหา
เราสามารถใช้ไลบรารีเช่น Matplotlib ใน Python เพื่อให้เห็นภาพโซลูชัน ตัวอย่างเช่นหากการแก้ปัญหาของเรา (U (x, y)) เป็นฟังก์ชั่น 2D เราสามารถสร้างพล็อตรูปร่างหรือพล็อตพื้นผิวเพื่อดูว่าการแก้ปัญหาแตกต่างกันไปตามโดเมนอย่างไร
นำเข้า matplotlib.pyplot เป็น plt # สมมติว่า x_grid และ y_grid เป็นจุดกริดในทิศทาง x และ y # และ u เป็นวิธีแก้ปัญหาบนจุดกริด x, y = np.meshgrid (x_grid, y_grid) plt.contourf (x, y, u) plt.colorbar ()ผลิตภัณฑ์ผสมของเรา
ที่ บริษัท ของเราเรานำเสนอผลิตภัณฑ์ที่เกี่ยวข้องกับการผสมผสานที่หลากหลาย ตัวอย่างเช่นเรามีไฟล์pp bioxial geogrid คอมโพสิต geotextileซึ่งเหมาะสำหรับการเสริมแรงในดินและการรักษาเสถียรภาพ มันรวมความแข็งแรงของ geogrid สองแกนเข้ากับคุณสมบัติการกรองของ geotextile
ผลิตภัณฑ์อื่นคือpolypropylene geogrid geotextile- ผลิตภัณฑ์นี้ทำจากโพรพิลีนที่มีคุณภาพสูงและให้คุณสมบัติเชิงกลที่ยอดเยี่ยม มันสามารถใช้ในการใช้งานวิศวกรรมโยธาต่างๆเช่นการก่อสร้างถนนและการเสริมแรงเขื่อน
เรายังมีPP Geogrid Composite พร้อม geotextileซึ่งเป็นผลิตภัณฑ์อเนกประสงค์ที่มีทั้งฟังก์ชั่นการเสริมแรงและการแยก
ติดต่อเราเพื่อรับการจัดซื้อ
หากคุณสนใจที่จะใช้สารละลายผสมผสานสำหรับปัญหา PDE ของคุณหรือหากคุณต้องการซื้อผลิตภัณฑ์ผสมของเราเรายินดีที่จะได้ยินจากคุณ ไม่ว่าคุณจะเป็นนักวิจัยวิศวกรหรือผู้รับเหมาเราสามารถให้การสนับสนุนและผลิตภัณฑ์ที่คุณต้องการ เพียงแค่เอื้อมมือมาหาเราและเราจะเริ่มการสนทนาที่ยอดเยี่ยมเกี่ยวกับวิธีที่เราสามารถทำงานร่วมกันได้
การอ้างอิง
- Gerstner, T. , & Griebel, M. (1998) การรวมตัวเลขโดยใช้กริดกระจัดกระจาย คณิตศาสตร์เชิงตัวเลข, 77 (1), 209 - 232
- Bungartz, HJ, & Griebel, M. (2004) กริดกระจัดกระจาย Acta Numerica, 13, 147 - 269
- กด, WH, Teukolsky, SA, Vetterling, WT, & Flannery, BP (2007) สูตรตัวเลข: ศิลปะการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์